27. 机器人传感 1

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步骤细分

了解解决方案的逐步细分很重要。让我们回顾一下解决方案视频中的内容。

先验概率

机器人完全不知道自己在哪里，先验概率如下

P(\text{at red} ) = 0.5

P(\text{at green} ) = 0.5

条件概率

机器人传感器不是十全十美的。 仅仅因为机器人 看见 红色，并 不代表 机器人是 在 红色格子中。

P(\text{see red} | \text{at red} ) = 0.8

P(\text{see green} | \text{at green} ) = 0.8

后验概率

从先验概率和后验概率中，我们需要计算机器人看见红色之后的后验概率：

1. P(\text{at red} | \text{see red} )

2. P(\text{at green} | \text{see red} )

提示，贝叶斯法则如下所示:

P(A|B ) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}

我们可以将贝叶斯法则中的 A 和B 替换掉，显示为：

P(\text{at red}|\text{see red} ) = \frac{P(\text{see red}|\text{at red}) \cdot P(\text{at red})}{P(\text{see red})}

现在，我们了解先验概率和条件概率后，可以改写为：

P(\text{at red}|\text{see red} ) = \frac{0.8 \cdot 0.5}{P(\text{see red})}

不过我们还不知道一件事！我们看见红色的概率是多少？ 答案是 0.5。我可以用两种方式来证明，一是直观预测，二是数学。

为什么 P(see red) 是0.5?

方式1：直观预测

当然是 0.5！不然呢? 机器人有 50％ 的概率认为自己在红色格子里，有50％的概率认为自己在绿色格子里。当然，它的传感器是不可靠的，但不可靠性是对称的，而 不是 错误地看到任何一种颜色。
所以无论看到红色的可能性是多少，这也将是看到绿色的可能性。由于这两种颜色是唯一可能的颜色，所以看到每种颜色的概率一定是 50％ ！

方式 2: 数学 （全概率法则）

机器人看到红色有以下两种情况。

1. 当机器人处于红色格子并且其传感器正常工作时。
2. 当机器人在绿色格子中，其传感器犯了一个错误。
   我只需要把这两个概率加起来就可以得到红色的总概率。

P(\text{see red} ) = P(\text{at red}) \cdot P(\text{see red} | \text{at red}) + P(\text{at green}) \cdot P(\text{see red} | \text{at green})

我可以由此得出答案：

P(\text{see red} ) = 0.5 \cdot 0.8 + 0.5 \cdot 0.2

P(\text{see red} ) = 0.4 + 0.1

P(\text{see red} ) = 0.5